微分

对于一个函数$f(x)$,当自变量有一个微小的变化$\Delta x$时,其因变量也会有一定的变化,记

$$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$$

🔷 定义 5：微分的定义

设函数$f(x)$在$x_0$的某个邻域$U(x_0)$上有定义,若存在常数$A$,使得

$$\begin{align} \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=A\Delta x+o(\Delta x) \end{align}$$

则称函数$f(x)$在$x_0$处可微,$A\Delta x$称为函数$f(x)$在$x_0$处的微分。其中$o(\Delta x)$为$\Delta x\to 0$时$\Delta x$的高阶无穷小。

🔶 定理 7：可微和可导的关系

在一元函数中,可微和可导是等价的。

证： ($\Rightarrow$)设函数$f(x)$在$x=x_0$处可微,则

$$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=A\Delta x+o(\Delta x)$$

因此

$$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\lim_{\Delta x\to 0}\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}=A$$

因此$f(x)$在$x=x_0$处可导,且$f'(x_0)=A$ ($\Leftarrow$)设函数$f(x)$在$x=x_0$处可导,则

$$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0)$$

因此

$$\Delta y=f'(x_0)\Delta x+o(\Delta x)$$

此时$A=f'(x_0)$

当$f(x)$在$x=x_0$处可微时,且$\Delta x\to 0$时,我们称$\Delta x$为自变量的微分,记作$dx$;$A \Delta x$为$\Delta y$的线性主部,也称为因变量的微分,记作$dy$或$df(x)$. 那么成立关系式

$$\begin{align} dy=A dx=f'(x_0)dx \end{align}$$

若函数$y=f(x)$在区间$I$上可微,那么称$f(x)$为区间$I$上的可微函数。函数$y=f(x)$在区间$I$上的微分记作

$$\begin{align} dy=f'(x)dx\ , x\in I \end{align}$$

由于导数与微分非常相似,因此我们我们可以推出下面微分公式。

• $d[u(x)\pm v(x)]=du(x)\pm dv(x)=[u'(x)\pm v'(x)]dx$;
• $d(uv)=udv+vdu$
• $d\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{vdu-udv}{v^2}$
• 复合函数微分法则${dy}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}\cdot {dx}=y'(u)u'(x)dx$

值得一提的是,在复合函数求导法则中,由于$u'(x)dx=udu$,因此复合函数微分法则也可以写做

$$dy=f'(u)du$$

这与(3)在形式上完全相同,因此这个性质被称为一阶微分形式不变性。

与导数类似,函数也有高阶微分。类似于一阶微分,我们可得高阶微分的表达式。$n\ge 2$时的$n$阶微分统称为高阶微分。

🔷 定义 6：高阶微分

函数$y=f(x)$的$n$阶微分$d^n y$满足下式

$$\begin{align} d^{n}y=f^{(n)}(x)dx^{n} \end{align}$$

或者写成

$$\begin{align} \frac{d^{n}y}{dx^{n}}=f^{(n)} \end{align}$$

这就解释了之前为什么可以用$\frac{d^{n}y}{dx^{n}}$表示$y=f(x)$的$n$阶导数。

微分具有一阶微分形式不变性,但是高阶微分就没有这个性质了。我们可以以二阶微分为例说明一下。

二阶微分的表达式为

$$\begin{align} d^2 y= f''(x)dx^2 \end{align}$$

如果$x$为中间变量,$x=g(t)$,那么

$$d^2 y=f(g(t))''dt^2=[f'(g(t))g'(t)]'dt^2=[f''(g(t))(g'(t))^2+f'(g(t))g''(t)]dt^2=f''(x)dx^2+f'(x)d^2x$$

此时不满足式(25),因此二阶微分不具有形式不变形。

📌 例 11

求下列函数的一阶与二阶微分：

• $y=x^2$
• $y=e^{\sin x}$
• $y=\ln(\sin x)$
• $y=x^x$

解：

• $$dy=2x dx,d^2y=2dx^2$$
• $$\begin{align*} dy=e^{\sin x}\cos x dx\ ,\ d^2y=\left[e^{\sin x}\cos^2 x -\sin x e^{\sin x}\right]dx^2\\ \end{align*}$$
• $$dy=\frac{\cos x}{\sin x}dx \ , d^2y=-\sec^2 xd x^2$$
• $$\begin{align*} dy=x^x(1+\ln x)dx\ ,\ d^2y=\left[x^x(1+\ln x)^2+\frac{x^x}{x}\right]dx^2\\ \end{align*}$$

📝 练习 1

求下列函数的微分:

• $y=x^2\ln x+\cos x^2$ (答案:$dy=x(2\ln x+1-2\sin x^2)dx$)
• $y=e^{\sin(ax+b)}$ (答案:$dy=ae^{\sin(ax+b)}\cos(ax+b)dx$)