一些符号和约定

由于Markdown格式不能完整渲染 $\LaTeX$ 内容，因此有些环境块无法显示，只能使用其它内容进行代替，在本文中，我们只对定义、定理（引理）、推论、例题、练习等渲染环境块，还望谅解。

在本书的范围里，如无特别说明，我们一般使用国际统一的数学符号. 我们使用 $n$ 代表自然数， $\mathbf{Q},\mathbf{R},\mathbf{C}$ 分别代表有理数域，实数域和复数域. $[x]$ 表示高斯取值函数， $\sum_{i}$ 表示求和符号， $\prod_{i}$ 表示连乘， $\int$ 为积分符号. 在书写微分算子 $dx$ 时，为了简便，一般没有使用正体的 ${\rm{d}}x$ ，而是 $dx$ . 我们使用 $f^{(n)}$ 代表 $f(x)$ 的 $n$ 阶导数，使用 $\int g (dx)^n = \int \cdots \int g(x) dx \cdots dx$ 代表 $g(x)$ 的 $n$ 阶不定积分. 本书所讨论的内容为不定积分，如无特别说明，含有积分号的题目、公式等均为不定积分.

在某些时候，我们只使用一个常数 $C$ 代表整个不定积分的常数，而不是写成分段的形式，以示简便. 例如实际上我们有：

\begin{align*} \int \frac{1}{x} dx = \begin{cases} \ln x +C_1 & , x>0\\ \ln(-x) +C_2 & , x<0 \end{cases} \end{align*}

但我们使用 $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x|+C$ ，一方面是为了和主流教材内容统一，另一方面为了简便. 但读者不能把 $C$ 理解为一个确定的常数，而是对于不同定义域区间中可能取得的不同值. 读者可以理解为 $C=C(x)$ 为分段常值函数（根据定义域进行的分段，而不是任意分）.

在使用分部积分法时，如果出现循环结构，如 $I = 2\sin x-I$ ，我们解出的 $I=\sin x$ 是没有含常数C的，这是因为我们默认为被积函数表达式相等，那么不定积分结果就相等，但事实上，我们的意思是集合相等，也即

\begin{align*} I_1 = \int 1dx = x+C_1 \quad,\quad I_2 = \int 1dx = x+C_2 \end{align*}

$I_1$ 与 $I_2$ 实际上相差了一个常数C. 在刚才例子中，严谨的写法应该是 $I = 2\sin x-I+C$ ，为了简便，后续一般不会细分它们的区别，因此读者需要自己在结果中加上常数C.

在正文中，我们会使用较多的环境块（包括自定义命令），下面一一展示：

\begin{definition}[定义]
    这是一个定义
\end{definition}

🔷 定义 9

这是一个定义

\begin{theorem}[定理]
    这是一个定理
\end{theorem}

🔶 定理 9

这是一个定理

\begin{corollary}[推论]
    这是一个推论
\end{corollary}

🔵 推论 6

这是一个推论

\begin{example}
    这是一个例题，一般在其后面会有解答.
\end{example}

📌 例 15

这是一个例题，一般在其后面会有解答.

\begin{solution}
    这是一个解答.
\end{solution}

\begin{exercise}
    这是一个练习题，一般没有详细的答案过程，不过会在下面给出提示.
\end{exercise}

📝 练习 3

这是一个练习题，一般没有详细的答案过程，不过会在下面给出提示.

\begin{tip}
    这是一个提示.
\end{tip}

\begin{kepu}[科普]
    这是一个科普，一般出现在一章的末尾，着重介绍一些课外的数学常识/概念/趣事等内容.
\end{kepu}

\begin{note}
    这是一个笔记.
\end{note}

\begin{remark}
    这是一个标注.
\end{remark}

在每章节后面都有配套的练习题，其中每道题都有详细的答案，并且题目和答案的题号能够相互跳转。具体来说，题目/答案前面的题号格式为1.(1)，其中没有括号的数字代表当前题目，带有括号的数字是可以点击的，点击后自动跳转到答案/题目.

在每章节的开头，我会放置一个章节摘要介绍，概括一下本章的内容.

\begin{introduction}
    \item 摘要1
    \item 摘要2
\end{introduction}

另外，文章中的暗红色（褐色）/蓝色/url等，基本都可以点击跳转（包括摘要）.